Polynomial functors on the categories FId - Algèbre, topologie, groupes quantiques, représentations Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2024

Polynomial functors on the categories FId

Foncteurs polynomiaux sur les catégories FId

Antoine Feltz

Résumé

The functors over the category FI of finite sets and injections appear naturally in various contexts. They intervene especially in the study of representation stability for symmetric groups initiated by Church, Ellenberg and Farb. Djament and Vespa showed that the representation stability can be expressed in terms of strong polynomial functors over FI. They also introduced a notion of weak polynomiality better suited to stable phenomena. These polynomial properties are ways of measuring the complexity of a functor that can be seen as an analogue of polynomial functions. There are generalizations of the category FI, denoted by FId, where we add a choice of colours among d possible on the complement of the image of each injection. The functors over these categories intervene in Sam and Snowden's work on modules over the free twisted commutative algebras and in the work of Ramos on the cohomology of configuration spaces of graphs. Since the categories FId have no initial object for d > 1, they fall outside the framework considered by Djament and Vespa. In this thesis we introduce different notions (strong and weak) of polynomial functors over the categories FId and we study their behaviour. To define strong polynomial functors we use a family of endofunctors that play the role of the derivative of usual polynomial functions, generalizing the construction of Djament and Vespa on FI. We also adapt the classical definition of polynomial functors (based on cross effects) to the framework of FId, and we show that the two definitions obtained coincide. The polynomial functors over FId turn out to be harder to study than over FI. For example, the standard projectives are strong polynomials over FI and we show that this is no longer the case over FId for d > 1. However, the strong notion of polynomial functors lacks essential properties concerning stable phenomena. We then introduce the weak polynomial functors by considering the quotient by a subcategory in order to eliminate the problematic functors. While the weak polynomial functors of degree 0 over FI are the constant functors, we give a description of those over FId which form a more complex category.
Les foncteurs sur la catégorie FI des injections entre ensembles finis apparaissent naturellement dans différents contextes. Ils interviennent notamment dans l'étude de la stabilité des familles de représentations des groupes symétriques initiée par Church, Ellenberg et Farb. Djament et Vespa ont montré que la stabilité des représentations peut s'exprimer en termes de polynomialité forte de foncteurs sur FI. Ils introduisent également une notion de polynomialité faible mieux adaptée aux phénomènes stables. Ces propriétés polynomiales sont des moyens de mesurer la complexité d'un foncteur qui peuvent être considérés comme un analogue des fonctions polynomiales. Il existe des généralisations de la catégorie FI, notées FId, où l'on rajoute un choix de couleurs parmi d possibles sur le complémentaire de l'image des injections. Les foncteurs sur ces catégories interviennent notamment dans les travaux de Sam et Snowden sur les modules sur les algèbres commutatives tordues libres et dans ceux de Ramos sur la cohomologie des espaces de configuration de graphes. Les catégories FId n'ayant pas d'objet initial pour d > 1, elles sortent du cadre considéré par Djament et Vespa. Dans cette thèse on introduit différentes notions (forte et faibles) de foncteurs polynomiaux sur les catégories FId et on étudie leur comportement. Pour définir les foncteurs fortement polynomiaux on utilise une famille d’endofoncteurs qui jouent le rôle de la dérivée des fonctions polynomiales usuelles, généralisant la construction de Djament et Vespa sur FI. On adapte aussi la définition classique de foncteurs polynomiaux (basée sur les effets croisés) au cadre de FId, et on montre que les deux définitions obtenues coïncident. Les foncteurs polynomiaux sur FId s'avèrent plus difficiles à étudier que sur FI. Par exemple, les projectifs standards sont fortement polynomiaux sur FI et on montre que ce n'est plus le cas sur FId pour d > 1. Cependant, la notion forte de foncteurs polynomiaux manque de propriétés essentielles concernant les phénomènes stables. On introduit alors les foncteurs faiblement polynomiaux en considérant le quotient par une sous-catégories afin de supprimer les foncteurs problématiques. Alors que les foncteurs faiblement polynomiaux de degré 0 sur FI sont les foncteurs constants, on donne une description de ceux sur FId qui forment une catégorie plus complexe.
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Dates et versions

tel-04601809 , version 1 (24-01-2024)
tel-04601809 , version 2 (05-06-2024)

Licence

Identifiants

  • HAL Id : tel-04601809 , version 1

Citer

Antoine Feltz. Polynomial functors on the categories FId. Mathematics [math]. Université de Strasbourg, 2024. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-04601809v1⟩
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